\documentclass[a4paper]{article}

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\begin{document}
\pagestyle{fancy}
\lhead{\textbf{Analysis Hausaufgabe}\\ Christof Stolze, 2619624}
\chead{}
\rhead{\today\\ Gruppe 6a}

\paragraph{Aufgabe 43.}
\paragraph{a)}
\begin{eqnarray*}
(\sqrt{2+x} \sqrt{4-x^2})' &=& (\sqrt{2+x} \sqrt{2+x} \sqrt{2-x})'\\
&=& ((2+x)\sqrt{2-x})'\\
\end{eqnarray*}
Mit der Produktregel ergibt sich:
\begin{eqnarray*}
((2+x)\sqrt{2-x})' &=& \sqrt{2-x}+(2+x)\frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{2-x}}(-1)\\
&=& \sqrt{2-x}-\frac{(2+x)}{2 \sqrt{2-x}}\\
&=& \frac{2(2-x)-(2+x)}{2 \sqrt{2-x}}\\
&=& \frac{2-3x}{2 \sqrt{2-x}}\\
\end{eqnarray*}
Wir haben also:
$$(\sqrt{2+x} \sqrt{4-x})' = \frac{2-3x}{2 \sqrt{2-x}}\ .$$

\paragraph{b)}
Bei dieser Aufgabe muss die Kettenregel mehrfach verwendet werden:
\begin{eqnarray*}
\left(\tan (\sqrt[8]{1+ \sin^8 x}) \right)' &=& \frac{1}{\cos^2 (\sqrt[8]{1+\sin^8 x})} \cdot 
\left(\sqrt[8]{1+\sin^8 x} \right)'\\
\left(\sqrt[8]{1+\sin^8 x} \right)' &=& \left((1+\sin^8 x)^{\frac{1}{8}} \right)'\\
&=& \frac{1}{8}(1+\sin^8 x)^{-\frac{7}{8}} \cdot (1+\sin^8 x)'\\
(1+\sin^8 x)' &=& 8\sin^7 x \cos x\\
\end{eqnarray*}
Zusammengefasst ergibt sich:
\begin{eqnarray*}
\left(\tan (\sqrt[8]{1+ \sin^8 x}) \right)' &=& \frac{1}{\cos^2 (\sqrt[8]{1+\sin^8 x})} 
\cdot \frac{1}{8}(1+\sin^8 x)^{-\frac{7}{8}} \cdot 8\sin^7 x \cos x\\
&=& \frac{\sin^7 x \cos x}{\cos^2 (\sqrt[8]{1+\sin^8 x}) \sqrt[8]{(1+\sin^8 x)^7}}\\
\end{eqnarray*}

\paragraph{c)}
Hier muss sowohl die Ketten-, als auch die Quotientenregel angewendet werden:
\begin{eqnarray*}
\left(\sinh \left(\pi^x + \frac{\cos x -1}{2\cos x -1}\right) \right)' &=& 
\cosh \left(\pi^x \frac{\cos x -1}{2\cos x -1}\right)\left(\pi^x \ln \pi + 
\frac{-\sin x (2\cos x -1)-\cos x(-2\sin x)}{(2\cos x -1)^2}\right)\\
&=& \cosh \left(\pi^x \frac{\cos x -1}{2\cos x -1}\right)\left(\pi^x \ln \pi + 
\frac{\sin x}{(2\cos x -1)^2}\right)\\
\end{eqnarray*}

\paragraph{d)}
Hierbei müssen nun Ketten-, Produkt- und Quotientenregel angewendet werden:
\begin{eqnarray*}
\left(x^{\frac{x-1}{2x-1}}\right)' &=& \left(e^{\frac{x-1}{2x-1}\ln x} \right)'\\
&=& e^{\frac{x-1}{2x-1}\ln x}\cdot \left(\frac{x-1}{2x-1}\ln x \right)'\\
\left(\frac{x-1}{2x-1}\ln x \right)' &=& \frac{(\ln x + \frac{x-1}{x}(2x-1)-2(x-1)\ln x}{(2x-1)^2}\\
&=& \frac{2x\ln x -\ln x + \frac{2x(x-1)}{x}-\frac{x-1}{x}-2x\ln x + 2\ln x}{(2x-1)^2}\\
&=& \frac{(x-1)(2x-1)+x\ln x}{x(2x-1)^2}\\
\end{eqnarray*}
Es ergibt sich insgesamt:
\begin{eqnarray*}
\left(x^{\frac{x-1}{2x-1}}\right)' &=& e^{\frac{x-1}{2x-1}\ln x} \frac{(x-1)(2x-1)+x\ln x}{x(2x-1)^2}\\
&=& x^{\frac{x-1}{2x-1}} \frac{(x-1)(2x-1)+x\ln x}{x(2x-1)^2}\\
\end{eqnarray*}

\paragraph{Aufgabe 44.}
\paragraph{a)}
Wir kennen folgende Darstellung des MWS: 
$$f'(\xi)=\frac{f(x)-f(y)}{(x-y)} \qquad \text{mit } y \leq \xi \leq x$$
Es gilt dann also mit $f(x)=x^n$ und den gegebenen Vorrausetzungen:
$$f'(y) \leq f'(\xi) \leq f'(x)$$
Wir kennen aber auch die Ableitung $f'(x)$, sie lautet $f'(x)=nx^{n-1}$. Also gilt:
$$ny^{n-1} \leq \frac{x^n-y^n}{x-y} \leq nx^{n-1}$$
Da nach Vorrausetzung $(x-y)$ positiv ist, folgt:
$$ny^{n-1}(x-y) \leq x^n-y^n \leq nx^{n-1}(x-y)\qquad \Box$$

\paragraph{b)}
Wir haben also die Abschätzung:
$$|\sin x-\sin y| \leq |x-y|$$
Ausgehend von $x \neq y$ erhalte ich:
$$\frac{|\sin x-\sin y|}{|x-y|} \leq 1$$
Es folgt nach dem MWS:
$$|\cos \xi| \leq 1 \qquad \text{mit } \xi \in (x,y)$$
Diese Abschätzung ist sicherlich immer wahr, denn die $cos$-Funktion nimmt nur Werte zwischen 
$-1$ und $1$ an.$\qquad \Box$

\paragraph{c)} Folgende Ungleichung ist gegeben:
\begin{eqnarray*}
|\sin x-1| &\leq& |x-\frac{\pi}{2}|^2\\
\Updownarrow\\
|\sin x-1| &\leq& |x-\frac{\pi}{2}| \cdot |x-\frac{\pi}{2}|\\
\end{eqnarray*}
mit $x \neq \frac{\pi}{2}$ und $\sin \frac{\pi}{2} = 1$ folgt:
\begin{eqnarray*}
\frac{|\sin x-\sin \frac{\pi}{2}|}{|x-\frac{\pi}{2}|} &\leq& |x-\frac{\pi}{2}|
\end{eqnarray*}
Daraus folgt nach dem MWS:
\begin{eqnarray*}
|\cos \xi| &\leq& |x-\frac{\pi}{2}| \qquad \text{mit } \xi \in (x,\frac{\pi}{2})
\end{eqnarray*}
Wegen $x \in \mathbb{R}$ und $\cos \frac{\pi}{2} = 0$ nehme ich statt $\xi$ wieder ein $x$ (das zwischen 
$\xi$ und $\frac{\pi}{2}$ liegt) und 
erhalte:
\begin{eqnarray*}
|\cos x| &\leq& |\cos \frac{\pi}{2}| + |x-\frac{\pi}{2}|\\
\Updownarrow\\
|\cos x - \cos \frac{\pi}{2}| &\leq& |x-\frac{\pi}{2}|\\
\Updownarrow\\
\frac{|\cos x-\cos \frac{\pi}{2}|}{|x-\frac{\pi}{2}|} &\leq& 1 \qquad \text{mit } x \neq \frac{\pi}{2}\\
\end{eqnarray*}
Nach dem erneuten Anwenden des MWS erhalte ich:
\begin{eqnarray*}
|-\sin \xi| \leq 1 \qquad \text{mit } \xi \in (x,\frac{\pi}{2})
\end{eqnarray*}
Diese Ungleichung ist immer erfüllt!$\qquad \Box$

\end{document}
